за Безкрайността

Вчера се замислих по този въпрос и ми стана много интересно и любопитно, та един час си го разнищвах и представях какви ли не случаи и идеи, та ми се иска да споделя тези си мисли.

Значи в тази статия ще има доста (макар и относитлено проста) математика и доста мислене. Ако някой не му се мисли и представя, да не я чете. В смисъл – чувствайте се предупредени.

Та всичко започна от тук така :

Значи облекох се и тръгнах да ходя на гости на Лили. Вървейки по пътя си представих две пресичащи се прави. не си спомням какво ме наведе на тази мисъл – дали кръстосани пръчки или някакъв друг спомен, но така си представих. Та представете си ги и вие – две пресичащи се прави (не под прав ъгъл обаче) които разделят равнината на 4 части.

Ако го нарисувате на лист хартия ще ви се строи, че две от частите са по-малки от другите две (за това ъгълът на пресичане не трябва да е прав), а дали наистина е така? В този случай мене ме заитересува дали едната от двете неравни части има повече точки. И докато е станало дума за това – навсякъде в този текст като говорим за по-голямо или по малко, ще имаме в предвид като брой точки или елементи.

Очевидно е, че и четирите части са безкрайни и съответно имат безкайно много точки, но все пак, дали малките четвъртинки нямат по-малко точки от големите. За да си изьясня въпроса се опитах да построя биекция между двете различни четвъртинки (това е математически термин означаващ еднозночно сътоветствие). Ако мога да построя такава, значи броя на точките е равен. Ако не мога, или ми остават точки, значи не е равен.

За целта си преставих по едно единично векторче на всяка от правите насочени в първи квадрант (все едно е нормална координатна система) тогава всяка точка може да се изрази като x.a+y.b където x и y са коефициенти, а a и b са тези същите вектори. за точките от първи квадрант и двата коефициента ще са положителни, а за тези от втори и х ще е отрицателен, а y положителен. Тогава на всяка точка (x,y) от първи квадрант съответства (-x,y) от втори и съответствието е еднозначно. Следователно двете четвъртинки имат равно количество точки.(въпреки, че не изглежда така)

Тъй като бях стигнал само до Витошка когато приключих с горните разсъждения, аз се заех да се занимая с релните числа. За тях също е ясно, че са безкрайно много. Това което ме заинтересува в случая е фактът, че явно, не просто са безкрайно моного, ами са и безкрайно нагъсто явно. Ето какво имам предвид:

Нека вземем интервала (0,1) и интервала (1,+~) (с ~ ще означавам безкрайност, защото нямам на клавиатурата, а ме мързи всеки път да се занимавам). Очевидно единия е краен интервал, а другият е безкраен. Би трябвало втория да е доста по голям като количество точки, нали ? Да ама не. Да вземем функцията  f(x)=1/x. Тя превръща всяко реално число по-голямо от едно във число от интервала (0,1) и обратно – всяко число от (0,1) във число от (1,+~). При това съответствието е еднозначно. Тоест двете множества имат еднакво количество точки.

Тук обаче се замислих за (0,1) и (1,2) тогава чрез прибяване на единица към точките от първия интервал еднозначно получаваме точки от втория. тоест двете мнажества са равни. Пи това съответствие обаче изглежда, че (0,1) е по-малък от (1,2] защото двойката няма съответна точка при това съответствие. Едновременно с това обаче от предишния пример се вижда, че (1,2] заедно с още по-голяма безкраяна част от правата се набутва без притеснение з интервала (0,1). Та къде е истината в случая?

Оставяйки този въпрос настрана, аз се замислих как да набутам (0,+~) в (0,1). За целта използвах функцията f(x)=1/(x+1) и нейната обратна g(x)=(1/x)-1 f(g(x))=g(f(x)=x. Първоначално ми беше малко странно и за това си представих две прави – идната нарекох магарета, а другата коне. Така можех да различавам елементите на двете множества. И след като се убедих, че интервалите са равномощни просто конско-магарешката история я елиминирах от играта.

И тук отново се върнах в равнината – ако цялата права може да се набута в краен интервал, то и цялата равнина може да се набута в крайно квадратче, а цялото пространство в крайно кубче.

В същото време обаче, естествените числа също са безкрайно много, но  въпреки това във всеки краен интервал има крайно количество от тях и каквото и да правим винаги ще има числа които естествените няма да могат да изброят при каквато и да е функция на съответствие.

Тогава ако пространството наистина е непркъснато, би трябвало, цялата вселена да може да се събере в куб с радиуса на земята. Ако сложим и времето като измерение, то в рамките на един човешки живот може на земята да се случи всичко което някога някъде се случва.

В действителнокст не се наблюдава такова нещо. Причина за това са учените – с техните идеи за атома и квантите, те са направили всъщност материята дискретна – може, частиците да са малки, но е ясно, че са с фиксирани размери. ако при това положение и пространството е дискретно – тоест  не във всяка точка може да има частица, това ще направи точките във вселената само изброимо много (колкото са естествените числа) и няма да позволи безкрайна гъстота никъде.

Имайки предвид, че скорстта на светлината е гранична за нашата вселена, може да се предположи, че едно дискритно пространство, ще принуди времето да бъде дискретно.

Ами това е всъщност за което разсъждавах от вкъщи до телевизионната кула. След това намерих паднали кестенови листа и се опитах да направя от тях розички – не се  получи много добре но все пак схванах принципа.